熱膨脹效應(yīng)：

(1)可以通過熱膨脹系數(shù)(thermal expansioncoefficient)來定義，ABAQUS可以通過熱膨脹系數(shù)來計(jì)算熱應(yīng)變;

(2)熱膨脹效應(yīng)可以是各向同性,、正交異性或各向異性的;

(3)被定義為從參考溫度(reference temperature)到計(jì)算溫度產(chǎn)生的膨脹效應(yīng);

(4)可以被定義為一個(gè)依賴于溫度和/或場(chǎng)變量的函數(shù);

(5)在ABAQUS/Standard中,，如果是連續(xù)實(shí)體單元，可以被定義為一個(gè)分布函數(shù);

(6)在ABAQUS/Standard中可以直接使用用戶子程序UEXPAN來定義(如果熱應(yīng)變是一個(gè)關(guān)于場(chǎng)變量和狀態(tài)變量的復(fù)雜函數(shù)),。

計(jì)算熱應(yīng)變

ABAQUS通過熱膨脹系數(shù)α來定義從參考溫度θ0到計(jì)算溫度θ產(chǎn)生的總的熱應(yīng)變,，如圖2.1所示。

產(chǎn)生的熱應(yīng)變可以通過下式進(jìn)行計(jì)算：

其中：

α(θ,fβ)為熱膨脹系數(shù);

θ為當(dāng)前溫度;

θI為初始溫度;

fβ為場(chǎng)變量當(dāng)前的取值;

fβI為場(chǎng)變量的初始值;

θ0為熱膨脹系數(shù)的參考溫度;

上式中的第二項(xiàng)代表由于初始溫度θI和參考溫度θ0之間的溫度差產(chǎn)生的熱應(yīng)變,。這一項(xiàng)能夠保證當(dāng)參考溫度不等于初始溫度時(shí)初始熱應(yīng)變?yōu)?,。

當(dāng)熱膨脹系數(shù)不為關(guān)于溫度和場(chǎng)變量的函數(shù)時(shí)，可以不定義參考溫度θ0,。

熱應(yīng)變的轉(zhuǎn)換

在ABAQUS中通常是以表格的形式來輸入平均熱膨脹系數(shù),。但有的時(shí)候，提供給你的熱膨脹數(shù)據(jù)可能是以微分的形式來表示的：

即提供的是應(yīng)變-溫度曲線(如圖2.1所示)的斜率,。為了將這些數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為ABAQUS支持的平均熱膨脹系數(shù),，需要進(jìn)行一個(gè)從參考溫度θ0到當(dāng)前溫度θ的積分運(yùn)算：

例如，假設(shè)為一組常數(shù)值：dα1/dθ位于θ0和θ1之間;dα2/dθ位于θ1和θ2之間;dα3/dθ位于θ2和θ3之間;則有：

因此在ABAQUS中需要輸入的平均熱膨脹系數(shù)可表示為：

通過在ABAQUS/Standard中使用用戶子程序UEXPAN可以定義與溫度和/或場(chǎng)變量有關(guān)的熱應(yīng)變?cè)隽?如果熱應(yīng)變?cè)隽渴桥c狀態(tài)變量有關(guān)的函數(shù),，則必須使用用戶子程序UEXPAN,。

如果材料的熱膨脹行為是各向同性的，則在用戶子程序UEXPAN中只需要定義一個(gè)各向同性熱應(yīng)變?cè)隽?Δε=Δε11=Δε22=Δε33);如果是正交異性的,，則需要定義熱應(yīng)變?cè)隽吭谌齻€(gè)主方向上的分量(Δε11,Δε22,Δε33);如果是各向異性的,，則需要定義熱應(yīng)變?cè)隽康牧鶄€(gè)分量(Δε11,Δε22,Δε33,Δε12,Δε13,Δε23)。

熱應(yīng)力

如果一個(gè)結(jié)構(gòu)不能自由膨脹,，則溫度的改變將會(huì)在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力,。例如，考慮一個(gè)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的桿單元,，桿的兩端被完全約束,。橫截面面積，楊氏模量E和熱膨脹系數(shù)α均為常數(shù),。對(duì)于該一維問題,，桿單元上產(chǎn)生的應(yīng)力可以通過Hooke定律計(jì)算得到：

其中εx為總應(yīng)變，εxth為熱應(yīng)變,，Δθ為溫度的該變量,。由于桿單元是完全約束的，因此εx=0,。如果桿單元兩端節(jié)點(diǎn)的溫度相同,，則應(yīng)力為：

受約束的熱膨脹可以產(chǎn)生很大的應(yīng)力值。對(duì)于典型的結(jié)構(gòu)鋼而言,，150oC的溫度變化都將使得材料屈服,。因此，在包含熱載荷的問題中,，應(yīng)該非常小心地處理邊界條件以避免對(duì)熱膨脹造成過約束,。

1,、簡(jiǎn)介

用戶子程序UEXPAN：

(1)可以用于將熱應(yīng)變?cè)隽慷x為關(guān)于溫度,、預(yù)定義場(chǎng)變量和狀態(tài)變量的函數(shù);

(2)被用于建立熱應(yīng)變與溫度和/或預(yù)定義場(chǎng)變量和狀態(tài)變量之間的復(fù)雜關(guān)系;可以在子程序中對(duì)熱應(yīng)變進(jìn)行更新;

(3)將會(huì)在單元的所有積分點(diǎn)上被調(diào)用;

(4)在熱力耦合分析中的每次迭代過程中,，每個(gè)積分點(diǎn)會(huì)調(diào)用該子程序兩次。

2,、用戶子程序接口

SUBROUTINE UEXPAN(EXPAN,DEXPANDT,TEMP,TIME,DTIME,PREDEF,1 DPRED,STATEV,CMNAME,NSTATV,NOEL)CINCLUDE ‘ABA_PARAM.INC’CCHARACTER*80 CMNAMECDIMENSION EXPAN(*),DEXPANDT(*),TEMP(2),TIME(2),PREDEF(*),1 DPRED(*),STATEV(NSTATV)user coding to define EXPAN, DEXPANDT and updateSTATEV if necessary.RETURNEND

3,、可以定義的變量

EXPAN (*)

熱應(yīng)變的增量。熱應(yīng)變分量的數(shù)量和順序取決于熱膨脹行為的類型,。

對(duì)于各相同性熱膨脹,，只需要定義一個(gè)分量;

對(duì)于正交異性熱膨脹，需要定義Δε11th,Δε22th,Δε33th三個(gè)分量;

對(duì)于各相異性熱膨脹,，需要分別定義Δε11th,Δε22th,Δε33th, Δε12th,Δε13th,Δε23th六個(gè)分量;如果是平面應(yīng)力,，則只需要定義Δε11th,Δε22th,Δε33th三個(gè)分量。

DEXPANDT (*)

熱應(yīng)變隨溫度的變化率,，?εth/?θ,。分量的數(shù)量和順序取決于熱膨脹行為的類型，與熱應(yīng)變?cè)隽款愃啤?/p>

4,、可以更新的變量

STATEV (NSTATEV)

用戶自定義的狀態(tài)變量,。除了熱力耦合分析，狀態(tài)變量將會(huì)在增量步的開始時(shí)間被傳遞到子程序中,，并可以在增量步結(jié)束時(shí)被更新,。對(duì)于熱力耦合分析，在每個(gè)積分點(diǎn),，每個(gè)增量步中子程序?qū)⒈徽{(diào)用兩次,。在第一次調(diào)用時(shí)，狀態(tài)變量的取值將會(huì)在增量步的初始時(shí)刻被傳遞到子程序中,，并在增量步結(jié)束時(shí)被更新,。在第二次調(diào)用時(shí)，第一次更新后的狀態(tài)變量值將被再次傳遞到子程序中,，并在增量步的結(jié)束時(shí)刻可以再次更新,。

用戶子程序UEXPAN允許熱應(yīng)變?cè)隽亢蜖顟B(tài)變量是弱相關(guān)的。熱應(yīng)變對(duì)狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)不會(huì)包含在Jacobian矩陣中,。

5,、用于獲取相關(guān)信息的變量

TEMP (1)

當(dāng)前溫度(增量步的終止時(shí)刻)。

TEMP (2)

溫度增量,。

TIME (1)

增量步終止時(shí)刻對(duì)應(yīng)的分析步時(shí)間,。

TIME (2)

增量步終止時(shí)刻對(duì)應(yīng)的總時(shí)間,。

DTIME

時(shí)間增量,。

PREDEF (*)

包含有所有用戶自定義場(chǎng)變量的數(shù)組(分析開始時(shí)的初始值和當(dāng)前的取值)。

CMNAME

用戶指定的材料名稱,。

NSTATEV

與該材料有關(guān)的狀態(tài)變量的數(shù)量,。

NOEL

用戶自定義單元號(hào),。

圖4.1為通過材料屬性模擬軟件JmatPro計(jì)算得到的SAE3140鋼在冷卻過程中奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變的熱應(yīng)變溫度曲線,。

從圖4.1中可以看出隨著溫度的下降,，材料產(chǎn)生熱應(yīng)變也隨之降低，當(dāng)溫度下降到約300oC時(shí),，熱應(yīng)變出現(xiàn)突然增長(zhǎng)的現(xiàn)象,，這是由奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變過程中的體積膨脹引起的。因此該突變點(diǎn)對(duì)應(yīng)的溫度值即為馬氏體轉(zhuǎn)變開始溫度Ms,。

采用節(jié)3中的方法計(jì)算平均熱膨脹系數(shù)：

其中ε0th為參考溫度θ0對(duì)應(yīng)的熱應(yīng)變,，從圖4.1中可以看出取值為0，αi為溫度θi對(duì)應(yīng)的平均熱膨脹系數(shù),。

在Matlab中編制平均熱膨脹系數(shù)的計(jì)算程序,，如下所示。

%程序用于根據(jù)熱應(yīng)變溫度曲線計(jì)算平均熱膨脹系數(shù)exp_data=importdata(‘thermal_temp_curve.txt’); %導(dǎo)入熱應(yīng)變溫度數(shù)據(jù)temp_data=exp_data(:,1); %溫度數(shù)據(jù)strain_data=exp_data(:,2); %熱應(yīng)變數(shù)據(jù)T_ref=1395; %參考溫度strain_ref=interp1(temp_data,strain_data,T_ref); %參考熱應(yīng)變sample_num=500; %計(jì)算樣點(diǎn)T=linspace(1300,25,sample_num)’;strain=interp1(temp_data,strain_data,T);alpha=zeros(sample_num,1);%計(jì)算平均熱膨脹系數(shù)for i=1:sample_num alpha(i)=(strain(i)-strain_ref)/(T(i)-T_ref);endplot(T,alpha)

通過程序計(jì)算得到不同參考溫度下以及JmatPro給出的平均熱膨脹系數(shù)如圖4.2所示,。

從圖4.2中可以看出,，當(dāng)參考溫度θ0取為1395oC時(shí)，計(jì)算得到的平均熱膨脹系數(shù)隨溫度的變化與JmatPro給出的結(jié)果幾乎是重合的,，這是因?yàn)镴matPro將應(yīng)變?yōu)?的點(diǎn)(圖4.1)對(duì)應(yīng)的溫度作為了參考溫度,。隨著參考溫度的變化，平均熱膨脹系數(shù)也隨之改變,。因此,，為了在ABAQUS中正確地定義熱膨脹行為，必須準(zhǔn)確地指定定義平均熱膨脹系數(shù)所采用的參考溫度,，否則將無法獲得正確的熱應(yīng)變值,。

通過圖4.2可以看出，當(dāng)參考溫度θ0取為某一值時(shí),，可以近似使得奧氏體和馬氏體的熱膨脹系數(shù)為一個(gè)不隨溫度變化的常數(shù),，如圖4.2中的綠色曲線所示，當(dāng)奧氏體幾乎完全轉(zhuǎn)變?yōu)轳R氏體之后,，綠色曲線的末端近似為一條水平線,，這代表著馬氏體的熱膨脹系數(shù)為一個(gè)常數(shù)值。而根據(jù)平均熱膨脹系數(shù)的定義式不難看出,，該參考溫度的準(zhǔn)確值可以通過如圖4.3所示的方法進(jìn)行求解,。

首先用直線分別擬合對(duì)應(yīng)奧氏體和馬氏體體積分?jǐn)?shù)為1時(shí)的熱應(yīng)變-溫度曲線，兩條直線的交點(diǎn)即為參考溫度θ0,。從圖4.3中可以看出參考溫度θ0約為881oC,。

兩條直線的斜率即為奧氏體和馬氏體的熱膨脹系數(shù)，其取值如表4.1所示。

表4.1 奧氏體和馬氏體的熱膨脹系數(shù)

利用上面計(jì)算得到的參考溫度重新計(jì)算平均熱膨脹系數(shù)隨溫度的變化,，結(jié)果如圖4.4所示,。

圖4.4中兩條虛線分別代表奧氏體和馬氏體的體積分?jǐn)?shù)為1時(shí)的熱膨脹系數(shù)，從圖中可以看出,，在使用了圖4.3中確定的參考溫度后,，奧氏體和馬氏體的熱膨脹系數(shù)基本不隨溫度變化。換句話說,，通過合理地選取參考溫度,，可以使得奧氏體和馬氏體的熱膨脹系數(shù)不隨溫度變化。

通過上面分析過程可以看出,，如果已知某一參考溫度θ0下奧氏體和馬氏體的平均熱膨脹系數(shù)為一個(gè)不隨溫度變化的常數(shù)，以及奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變過程中奧氏體和馬氏體的體積分?jǐn)?shù)(假定不存在擴(kuò)散型相變),，則可以直接計(jì)算如圖4.1所示的熱應(yīng)變-溫度曲線,。

而奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變的過程為非擴(kuò)散型相變，可以通過Koistinen-Marburger模型來描述：

其中,，vm和va分別為馬氏體和奧氏體的體積分?jǐn)?shù),，b為與材料有關(guān)的常數(shù)，Ms為馬氏體轉(zhuǎn)變開始溫度,。通過圖4.1中的拐點(diǎn)可以大致判斷出Ms約為300oC,。

常數(shù)b可以通過馬氏體體積分?jǐn)?shù)與溫度之間的關(guān)系來確定，這里直接給出通過JmatPro計(jì)算得到的結(jié)果,，如表5.1所示,。

由上式可得奧氏體體積分?jǐn)?shù)和溫度之間滿足關(guān)系：

因此，將奧氏體體積分?jǐn)?shù)的自然對(duì)數(shù)與溫度的數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合即可得到常數(shù)b的取值為0.019oC-1,，Ms取為310.5oC,，擬合曲線如圖5.1所示。

在已知任意溫度下奧氏體和馬氏體的體積分?jǐn)?shù)后,，則對(duì)應(yīng)的熱膨脹系數(shù)可表示為：

熱應(yīng)變可表示為：

其中θI為初始時(shí)刻的溫度,，即熱應(yīng)變?yōu)?對(duì)應(yīng)的溫度值，在圖4.1中θI為1395oC,。

通過上述方法在Matlab中編寫計(jì)算程序,，如下所示。

%程序用于計(jì)算奧氏體向馬氏體轉(zhuǎn)變過程中的熱應(yīng)變隨溫度變化sample_num=200; %計(jì)算樣點(diǎn)數(shù)CTE_a=22.44e-6; %奧氏體熱膨脹系數(shù)CTE_m=15e-6; %馬氏體熱膨脹系數(shù)T_ini=1395; %初始溫度T_ref=881; %參考溫度T_Ms=310.5; %馬氏體轉(zhuǎn)變開始溫度KM_b=0.019; %Koistinen-Marburger模型系數(shù)bVa=ones(sample_num,1); %奧氏體體積分?jǐn)?shù)Vm=zeros(sample_num,1); %馬氏體體積分?jǐn)?shù)alpha=zeros(sample_num,1); %熱膨脹系數(shù)strain=zeros(sample_num,1); %熱應(yīng)變T=linspace(1400,20,200)’; %溫度for i=1:sample_num %計(jì)算奧氏體和馬氏體體積分?jǐn)?shù) if T(i)<=T_Ms Vm(i)=1-exp(-1*KM_b*(T_Ms-T(i))); Va(i)=1-Vm(i); end %計(jì)算熱膨脹系數(shù) alpha(i)=Vm(i)*CTE_m+Va(i)*CTE_a; %計(jì)算熱應(yīng)變 strain(i)=alpha(i)*(T(i)-T_ref)-… alpha(i)*(T_ini-T_ref);endfigure;plot(T,Vm,T,Va);figure;plot(T,alpha);figure;plot(T,strain);

計(jì)算得到的熱應(yīng)變隨溫度的變化如圖5.2所示,。

圖5.2中黑色曲線為通過JmatPro計(jì)算得到的熱應(yīng)變曲線,，紅色曲線為馬氏體熱膨脹系數(shù)取值為10.46×10-6oC-1時(shí)計(jì)算得到的熱應(yīng)變曲線，該熱膨脹系數(shù)值是通過擬合JmatPro給出的熱應(yīng)變曲線得到的,，但似乎與黑色曲線有較大的差異;反而是將馬氏體熱膨脹系數(shù)取值為15×10-6oC-1時(shí)與黑色曲線較為吻合,，本文認(rèn)為這主要是由于擬合直線斜率時(shí)溫度范圍選取不當(dāng)引起的,。在擬合馬氏體的熱膨脹系數(shù)時(shí)，本文選取了20oC~200oC的溫度范圍,，而從表5.1中可以看出，當(dāng)溫度位于200oC時(shí),，此時(shí)馬氏體的體積分?jǐn)?shù)為90%,，因此此時(shí)對(duì)應(yīng)的熱膨脹系數(shù)并非馬氏體體積分?jǐn)?shù)為100%時(shí)的熱膨脹系數(shù)。如果采用該溫度段進(jìn)行擬合,，將造成擬合得到的熱膨脹系數(shù)偏小,。如果縮小擬合時(shí)選取的溫度范圍，預(yù)計(jì)能夠獲得較好的結(jié)果,。

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